算法 题解 USACO

USACO一月月赛金组游记

暴力奇迹

Posted by ethan-zhou on January 24, 2021

T1

转化

上来一看这题蒙了，猜了几个结论，又打了个贪心，结果只过了样例，就先去打 T2 了。

打完 T2 回到这题，仔细想想，发现这个答案是很难直接在输入字符串序列上 dp 的，故考虑构造牛文字母表的顺序，使得结果最小。

先跳过构造的过程，假设我们目前已经知道，牛文字母表的顺序就是 abcdefg… 我们如何快速的求出输入序列的答案呢？

不妨设输入序列为abcba，我们发现这个序列最少需要唱3次才能出现，为什么呢？唱第一次可以出现到abc但是下一项b的字典序比c靠前，所以b就只能再唱一次了，下一项a也是同理，所以这个序列的答案是 3 。

总结一下，答案为：

$1+\sum_{i \in [1,n-1]}{(dict[str[i]]>=dict[str[i+1]])}$

其中 dict[x] 表示 x 字符在牛文字母表中排在第几个

如何dp

状态

现在我们要构造一个牛文序列，26! 的算法肯定是不行的，但是观察数据范围我们发现暗藏玄机：

  • 测试点 6-16 中，Farmer Nhoj 从未听到任何出现在 Mildred 名字中的字母。

也就是说字符集只有 20 个，是可以状压 dp 的。

于是我们从小到大构造一个牛文字母表，dp[s] （s是状压出来的数）表示当前构造的字母表中，已经包含了 s 这些字符的时候，答案的最小值。

转移：

采用“我为人人”的 dp 方式，当我们新加入一个字符 x 的时候，如何计算答案会增加多少呢？

我们只需知道有多少个 i 满足 \((str[i]==x)\ and\ str[i+1]\in (s\cup\{x\})\)，于是我开了个桶并暴力实现这个，详见代码

此题复杂度 \(O(2^{20}\times 20^2)\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define rd scanf
#define pt printf
#define setp(x) setprecision(x)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define sz(x) (int)x.size()
#define umn(x,y) x=min(x,y)
#define umx(x,y) x=max(x,y)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ll,ll> pi;
typedef vector<ll> vi;
typedef vector<pi> vpi;

const double eps=1e-9;
const ll INF=1e18;
const ll P=998244353;
const ll MXN=1e5+5;

inline ll mod(ll x){return x>=P?x-P:x;}
inline ll mul(ll x,ll y){if(x<y)swap(x,y);ll res=0;while(y){if(y&1)res=mod(res+x);x=mod(x<<1);y>>=1;}return res;}
inline ll qpow(ll x,ll y){ll res=1;while(y){if(y&1)res=res*x%P;x=x*x%P;y>>=1;}return res;}
ll gcd(ll x,ll y){return !y?x:gcd(y,x%y);}
inline void pbin(ll x,ll y){for(;~y;y--)cerr<<char('0'+((x>>y)&1));cerr<<endl;}



const int CSZ=26;
const int MXSZ=20;
ll n;
char str[MXN];
ll cnt[MXSZ][MXSZ];
ll dp[1<<MXSZ];
ll table[CSZ],sz;


#define toi(x) table[(x)-'a']



inline void solve(){
    //codes
	cin>>(str+1);
	n=strlen(str+1);
	mem(table,-1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(toi(str[i])==-1)
			toi(str[i])=sz++;

	for(int i=1;i<n;i++)
		cnt[toi(str[i])][toi(str[i+1])]++;

	mem(dp,0x3f);
	dp[0]=1;
	for(int i=0;i<(1<<sz);i++){
		/*pbin(i,5);
		cout<<dp[i]<<endl;*/
		for(int j=0;j<sz;j++)
			if(!((i>>j)&1)){
				ll tmp=dp[i]+cnt[j][j];
				for(int k=0;k<sz;k++)
					if((i>>k)&1)
						tmp+=cnt[j][k];
				umn(dp[i^(1<<j)],tmp);
			}
	}
	cout<<dp[(1<<sz)-1];


}
int main(){
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
	cout<<setiosflags(ios::fixed);
	srand(time(NULL));

	solve();
	return 0;
}

T2

打了一个裸的 spfa，得到92分的好成绩

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define rd scanf
#define pt printf
#define setp(x) setprecision(x)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define sz(x) (int)x.size()
#define umn(x,y) x=min(x,y)
#define umx(x,y) x=max(x,y)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ll,ll> pi;
typedef vector<ll> vi;
typedef vector<pi> vpi;

const double eps=1e-9;
const ll INF=1e18;
const ll P=998244353;
const ll MXN=1e5+5;
const ll MXK=55;

inline ll mod(ll x){return x>=P?x-P:x;}
inline ll mul(ll x,ll y){if(x<y)swap(x,y);ll res=0;while(y){if(y&1)res=mod(res+x);x=mod(x<<1);y>>=1;}return res;}
inline ll qpow(ll x,ll y){ll res=1;while(y){if(y&1)res=res*x%P;x=x*x%P;y>>=1;}return res;}
ll gcd(ll x,ll y){return !y?x:gcd(y,x%y);}
inline void pbin(ll x,ll y){for(;~y;y--)cerr<<char('0'+((x>>y)&1));cerr<<endl;}



ll n,k;
ll dis[MXN],tp[MXN];
vi ec[MXK],ek[MXK];
bool inq[MXN];
inline void spfa(){
	mem(dis,0x3f);
	deque<ll> q;
	q.push_front(1);
	dis[1]=0;
	while(!q.empty()){
		ll p=q.front();
		q.pop_front();
		inq[p]=0;
		int ctp=tp[p];
		for(int i=0;i<sz(ek[ctp]);i++){
			int ntp=ek[ctp][i];
			for(int j=0;j<sz(ec[ntp]);j++){
				int nc=ec[ntp][j];
				int nw=dis[p]+abs(nc-p);
				if(nw<dis[nc]){
					dis[nc]=nw;
					if(!inq[nc]){
						inq[nc]=1;
						q.empty() || dis[nc]<=dis[q.front()] ? q.push_front(nc):q.push_back(nc);
					}
				}
			}
		}
	}
}
inline void solve(){
    //codes
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>tp[i];
		ec[tp[i]].pb(i);
	}
	for(int i=1;i<=k;i++){
		char str[MXK];
		cin>>(str+1);
		for(int j=1;j<=k;j++)
			if(str[j]=='1')
				ek[i].pb(j);
	}
	spfa();
	cout<<(dis[n]<1e16?dis[n]:-1);
}
int main(){
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
	cout<<setiosflags(ios::fixed);
	srand(time(NULL));

	solve();
	return 0;
}

T3

打了一个暴力，得到 25 分的好成绩，时间不太够，懒得想 50 分了，听说 50 分是银组 T1。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define rd scanf
#define pt printf
#define setp(x) setprecision(x)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define sz(x) (int)x.size()
#define umn(x,y) x=min(x,y)
#define umx(x,y) x=max(x,y)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ll,ll> pi;
typedef vector<ll> vi;
typedef vector<pi> vpi;

const double eps=1e-9;
const ll INF=1e18;
const ll P=998244353;
const ll MXN=200+5;

inline ll mod(ll x){return x>=P?x-P:x;}
inline ll mul(ll x,ll y){if(x<y)swap(x,y);ll res=0;while(y){if(y&1)res=mod(res+x);x=mod(x<<1);y>>=1;}return res;}
inline ll qpow(ll x,ll y){ll res=1;while(y){if(y&1)res=res*x%P;x=x*x%P;y>>=1;}return res;}
ll gcd(ll x,ll y){return !y?x:gcd(y,x%y);}
inline void pbin(ll x,ll y){for(;~y;y--)cerr<<char('0'+((x>>y)&1));cerr<<endl;}



ll n,m,k;
pi arr[MXN],suf[MXN];
ll last[MXN];

bool vis[MXN],cc[MXN][MXN];
inline void cal(ll x){
	mem(vis,0);
	mem(cc,0);

	ll ans=1,ct=last[x],tot=last[x];
	vis[x]=1,cc[0][x]=1;
	while(tot<=m && !cc[ct][x]){
		cc[ct][x]=1;
		if(!vis[x]){
			ans++;
			vis[x]=1;
		}
		if(x==arr[ct].fi){
			x=arr[ct].se;
			ll nx=suf[ct].se;
			tot+=nx-ct<=0?nx-ct+k:nx-ct;
			ct=nx;
		}
		else{
			x=arr[ct].fi;
			ll nx=suf[ct].fi;
			tot+=nx-ct<=0?nx-ct+k:nx-ct;
			ct=nx;
		}
	}
		if(!vis[x]){
			ans++;
			vis[x]=1;
		}
	cout<<ans<<endl;
}


inline void solve(){
    //codes
	cin>>n>>k>>m;
	for(int i=1;i<=k;i++)
		cin>>arr[i].fi>>arr[i].se;
	for(int i=k;i;i--){
		suf[i].fi=last[arr[i].fi];
		suf[i].se=last[arr[i].se];
		last[arr[i].fi]=last[arr[i].se]=i;
	}
	for(int i=k;i;i--){
		suf[i].fi=last[arr[i].fi];
		suf[i].se=last[arr[i].se];
		last[arr[i].fi]=last[arr[i].se]=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)cal(i);
}
int main(){
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
	cout<<setiosflags(ios::fixed);
	srand(time(NULL));

	solve();
	return 0;
}

作者：@ethan-enhe
本文为作者原创，转载请注明出处：本文链接

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